压缩映像原理

内容


设数列${x_n}$满足下列两种压缩性条件之一:

(1)$|x_{n+1}-x_n|\leqslant t|x_{n}-x_{n-1}|$

(2)$|x_{n+1}-A|\leqslant t|x_{n}-A|$($A$是数列极限值)

其中$t\in(0,1),n>1$,则数列${x_n}$必定收敛

  

证明


我们用柯西收敛准则来证明该原理的第一条(第二条的证明是类似的)

对于任意的$\varepsilon >0$,若$|x_{n+1}-x_n|\leqslant t|x_{n}-x_{n-1}|$,则有

$|x_{n+p}-x_n|<t|x_{n+p-1}-x_{n-1}|<…<t^{n-1}|x_{p+1}-x_{1}|<\varepsilon$

取$N=\left [ log_t \frac{\varepsilon}{|x_{p+1}-x_1|}\right ]+2$,当$n>N$时,恒有$|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon$

根据可惜收敛准则,该数列收敛

  

例题


已知$x_1 =a($常数$a>0),x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}$,证明:数列${x_n}$收敛

解:由于$x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}=1+\frac{1}{x_n+1}$且$x_1>0$,故$x_n>1$,于是有:

$|x_{n+1}-x_n|=|\frac{x_n+2}{x_n+1}-\frac{x_{n-1}+2}{x_{n-1}+1}|=\frac{|x_n-x_{n-1}|}{(x_n+1)(x_{n-1}+1)}<\frac{1}{4}|x_n-x_{n-1}|$

由压缩映像原理可知数列${x_n}$收敛

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